Санкт-Петербургские олимпиады по физике

Решения 9 класса (город 2005)

Подробности

Обновлено 23.01.2014 14:16

Решения задач городского тура 2005 года для 9 класса.

1 · 2 · 3 · 4 · 5

Задача 1.

Если Вася движется со скоростью $v$ в течение времени $t$, то он поднимется на расстояние $vt$. Значит, чтобы определить максимальную длину лестницы, надо найти на графике точку, соответствующую максимальному значению $vt$, или, что то же самое, минимальному отношению $(1/t)/v$. Поскольку $(1/t)/v$ — это угловой коэффициент прямой, проходящей через начало координат и данную точку графика, задача сводится к тому, чтобы найти прямую с минимальным угловым коэффициентом. Такой прямой является касательная к графику, проведенная из начала координат (прямая 1 на рисунке).

Таким образом, необходимо провести касательную и после этого вычислить длину лестницы, например, по координатам точки касания: $v_0$ = 1.33 м/с, $1/t_0$ = 0.029 с^-1. Отсюда $l_0$ = 46.2 м. Можно использовать и любую другую точку касательной.

Теперь рассмотрим случай, когда Вася на забирается по эскалатору, движущемуся со скоростью $u$. Если скорость Васи равна $v$, то расстояние, которое он успеет пройти, равно $(v-u)t$. Это произведение максимально, когда отношение $(1/t)/(v-u)$ минимально, т.е. когда минимален угловой коэффициент прямой, проходящей через точку $(u,0)$ и данную точку графика. Таким образом, необходимо провести касательную к графику из точки $(u,0)$ (прямая 2 на рисунке) и по ее угловому коэффициенту определить длину эскалатора аналогично тому, как это делалось для неподвижной лестницы.

Проведя эту процедуру для нескольких значений $u$, можно получить итоговый график:

Задача 2.

В первую очередь заметим, что нить всегда натянута перпендикулярно стержню, поскольку кольцо невесомо и не испытывает трения о стержень. Следовательно, взаимное положение клина, бруска, нити и кольца не будет изменяться, и они будут скользить вниз по рельсам как целое. Ускорение направлено параллельно рельсам; обозначим его $a$.

Рассмотрим силы, действующие на брусок. Это силы тяжести, натяжения нити и реакции со стороны клина. Они придают бруску ускорение $a$:

или в проекции на вертикальную ось

Теперь рассмотрим вместе клин, брусок, нить и кольцо. На эту систему действуют сила тяжести $(m+M)g$, сила реакции рельс $N$, сила трения $F_\mbox{тр}$ и сила реакции $F$ со стороны стержня (эта сила действует на кольцо и уравновешивает силу натяжения нити, поэтому $F=T$). Вся система приобретает ускорение $a$:

или в проекциях на оси $x$ и $y$:

$$(m+M) g \sin \alpha - F_\mbox{тр} = (m+M) a,$$

$$N - T - (m+M) g \cos \alpha =0.$$

Границы применимости этого решения определяются из условия $a>0$.

Ответ: $a = \frac{(m+M)(\sin \alpha - \mu \cos \alpha)-\mu m}{m+M - \mu m \sin \alpha}g$  при $\mu < \frac{(m+M) \sin \alpha}{(m+M) \cos \alpha + m}$, $a=0$ в противоположном случае.

Задача 3.

Кроме силы тяжести, на уголок действуют силы со стороны находящейся в нем воды. Когда вода меняет направление скорости, она передает уголку импульс. Следовательно, на уголок действуют силы, приложенные в точке крепления уголка A и в точке изгиба B.

Вычислим силу $F$, действующую в точке B. Во-первых, она направлена под углом 135° к сторонам уголка, поскольку она противоположна по направлению изменению импульса воды при повороте. Чтобы вычислить ее величину, обозначим площадь сечения уголка $S$, скорость воды $v$, ее плотность $\rho$. Тогда масса воды, протекающей по уголку за время $t$, равна $\rho S v t$, ее импульс $p_{\mbox{нач}} = p_{\mbox{кон}} = \rho S v^2 t$, изменение импульса $\Delta p = \sqrt{2} \rho S v^2 t$, и сила $F = \sqrt{2} \rho S v^2$. Если скорость воды удвоить, то эта сила увеличится в 4 раза.

Найдем условие равновесия уголка. Моменты сил, действующих на него, скомпенсированы. Будем вычислять моменты относительно точки A. Тогда сила, действующая со стороны оси, и сила, возникающая из-за изменения направления течения воды в точке A, не имеют моментов. Если обозначить длину стороны уголка $l$, то плечо силы $F$ равно $l/\sqrt{2}$. Сила тяжести приложена в центре масс уголка. Обозначим расстояние от точки A до центра масс $l_1$. Тогда плечо силы тяжести равно $l_1 \sin (\alpha - \alpha_0)$, где $\alpha_0$ — угол между направлениями из точки A на точку B и на центр масс. Таким образом, $$F l / \sqrt{2} = F_m l_1 \sin (\alpha - \alpha_0)$$

При удвоении скорости воды сила $F$ увеличивается в 4 раза. Если $\beta$ — искомый угол, то $$ 4 F l / \sqrt{2} = F_m l_1 \sin (\beta - \alpha_0)$$

Следовательно, $\sin (\beta - \alpha_0) = 4 \sin (\alpha - \alpha_0)$. Осталось найти угол $\alpha_0$. Центр масс уголка находится посередине между серединами его сторон. Поэтому $\mathrm{tg} \alpha_0 = 1/3$.

В итоге имеем: $\beta = \alpha_0 + \arcsin (4\sin(\alpha - \alpha_0))$, $\alpha = \mathrm{arctg} (1/3)$. Подставляя $\alpha$ = 30°, получаем $\beta$ = 71.7°.

Ответ: вода будет бить из уголка под углом 71.7° к горизонту.

Задача 4.

Судя по тому, что напряжения U₁ и U₂ отличаются не в 3 раза, вольтметр у знатока физики был не идеальный. Обозначим сопротивление вольтметра R, а сопротивление каждого из резисторов r. Первая схема, которая возникла при измерениях, выглядит так:

В этой схеме вольтметр показывает как раз то напряжение, которое выдает источник. Значит, напряжение источника равно U₁. Вторая схема такова:

Она эквивалентна последовательному соединению резисторов сопротивлениями и 2r, поэтому вольтметр показывает напряжение . Отсюда можно найти отношение сопротивлений резистора и вольтметра: . Третья схема, возникшая при измерениях, и эквивалентная ей схема выглядят так:

В этой схеме вольтметр показывает = 2.77 В.

Ответ: вольтметр показал 2.77 В.

Задача 5.

Когда утюг включен в сеть, его нагреватель периодически включается и выключается. Пусть мощность нагревателя P, а мощность, отдаваемая утюгом в окружающее пространство, равна P₁ и P₂ в первом и втором случае соответственно. Обозначим время, в течение которого нагреватель включен и выключен, t_вкл1 и t_выкл1 в первом случае и t_вкл2 и t_выкл2 во втором случае. Тогда

где Q = С(t₂-t₁) (С - теплоемкость утюга) - количество теплоты, необходимое для нагрева утюга от температуры t₁ до температуры t₂.

Из условия известно, что в первом случае утюг работает k = 1/4 всего времени, т.е.

Также известно, что во втором случае время между последовательными моментами включения нагревателя в n = 4/3 раза меньше, т.е.

Этой системы уравнений достаточно для решения задачи. Обозначим искомую долю времени k₂:

Тогда из (P-P₁)t_вкл1 = P₁t_выкл1 следует (P-P₁)k = P₁(1-k) и P₁ = kP, и аналогично P₂ = k₂P.

Из уравнений (2), (3) и (4) следует t_вкл1/k = nt_вкл2/k₂. Подставляя это в соотношение

получаем (P-P₁)k = (P-P₂)k₂/n, откуда

Решение этого квадратного уравнения .

Ответ: нагреватель утюга будет работать в течение половины времени.