Решения 8 класса (город 2005)

Подробности: Обновлено 08.11.2013 10:30

Решения задач городского тура 2005 года для 8 класса.

1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7

Задача 1.

Пусть $m_1$ — неизвестная масса, $T_1$ — сила натяжения нити перекинутой через блок, $T_2$ — сила натяжения нити прикрепленной к правому концу рычага, $T$ — сила натяжения нити прикрепленной к левому концу рычага, $a$ — длина левого плеча, $b$ — правого.

Так как подвешенные грузы неподвижны, то силы тяжести, действующие на них, скомпенсированы силами натяжения нитей, прикрепленных к ним. Поэтому $mg = T_1 + T_2$, $m_1 g = T_1$.

Блок невесом и неподвижен, поэтому $T=2T_1$.

Так как рычаг однороден, а отношение плеч — $1/2$, то левое плечо имеет массу $M/3$, правое — $2M/3$.

Из правила рычага: $Mg/3 \cdot a/2 + T \cdot a = 2Mg/3 \cdot b/2 + T_2 b$.

При этом $b/a=$. Поэтому получаем: $T- 2 T_2 = Mg/2$.

Решая систему полученных, уравнений находим:

Ответ: $m_1 = M/8 + m/2$.

Задача 2.

Пусть $L$ — длина кольцевой дорожки, $t$ — время от старта до встречи.

Тогда $(v_1 + u) t = nL$, $(v_2 + u) t = mL$, где $m$ и $n$ — натуральные числа. Тогда $$ v_2 = \frac{m}{n} (v_1 + u) - u.$$

Первый спортсмен пробежал не более 2 кругов, значит $v_1 t \leq 2L$, следовательно, $n \leq 2 \dfrac{v_1+u}{v_1} = 3$.

Ответ: 2.5 км/ч, 5 км/ч, 10 км/ч, 15 км/ч, 17.5 км/ч, 20 км/ч.

Задача 3.

Пусть в воду оказались погружены n шаров. Пронумеруем погруженные шары начиная с верхнего. Расстояние между шарами обозначим за l (l = 1 м). k-й шар погружен на глубину h_k = kl.

Сила Архимеда действующая на k-й шар равна .

Чтобы стержень тонул, суммарная сила Архимеда должна быть меньше силы тяжести

< mng

Ответ: 6 м.

Задача 4.

В стационарном состоянии сила натяжения веревки перекинутой через подвижный блок равна mg. Так как подвижный блок невесом, сила натяжения веревки соединенной с куском льда равна 2mg и остается постоянной. Следовательно, остается постоянной разность сил тяжести и Архимеда 2mg = m_лg - rV_погрg, где m_л - текущая масса льда, а V_погр - объем погруженной части льда.

По мере таяния льда m_л уменьшается, следовательно уменьшается и V_погр. Это будет происходить пока m_л не будет равна 2m, а V_погр не станет равным нулю. Можно также мысленно разбить лед на две части, одну, нетающую, массой 2m и другую, тающую, вес которой скомпенсирован силой Архимеда, равной весу вытесненной жидкости.

Растаявший лед как раз заполнит объем, вытесняемый им ранее. Поэтому уровень воды будет оставаться постоянным, и при этом вода выливаться не будет.

Пусть m₀ - начальная масса льда, V₀ - начальный объем погруженной части. V₀ = m₀/2r_л

Из условия равновесия .

Система выйдет из равновесия, когда растает масса льда

Пусть искомая температура воды t. Тогда:

Ответ: ≈ 9.0°C

Задача 5.

Пусть u - скорость распространения сигнала испускаемого атакующим самолетом.

График зависимости L(t) для каждого сигнала несущего информацию о скорости представляет собой прямую с коэффициентом u. (За одну минуту сигнал проходит расстояние 330 м/с · 60 с = 19800 м ≈ 20 км).

Любая прямая проходящая под таким углом должна пересекать графики зависимостей L(t) для двух самолетов в точках, где самолеты имеют одинаковые скорости.

График зависимости L(t) самолета-цели удовлетворяющий этому условию можно получить параллельным переносом графика для атакующего самолета вдоль прямой с коэффициентом u.

При этом расстояние между самолетами при t = 0 c должно быть равно 10 км (2 кл.).

Это будет выполнено при переносе на 1кл. вправо и на 4кл. вверх.

Для строгости стоит еще заметить, что скорость самолета-цели в каждый момент времени однозначно определена (по сигналу приходящему от первого), поэтому и зависимость L(t) самолета-цели определена единственным образом.

Расстояние между самолетами минимально примерно при t = 6 мин 15 сек и равно ≈ 8 км.

Ответ: ≈ 8 км

Задача 6.

Пусть в равновесии дно сосуда находится на глубине h' под водой, а поршень - на глубине H'. Дно сместилось на h'-h. Перемещение поршня вдвое больше: H'-H = 2(h'-h) (*).

Пусть натяжение веревки соединенной с поршнем равно T₁, тогда натяжение веревки соединенной с дном равно T₂ = 2T₁. (1)

Сила давления действующая на поршень скомпенсирована силой со стороны веревки: (rgH' + p₀)S = T₁ (2).

Силы тяжести и давления, действующие на перевернутый сосуд скомпенсированы силой со стороны веревки прикрепленной к дну: (rgh' + p₀)S + mg = T₂ (3a).

Исключая T₁ и T₂ из уравнений (1), (2), (3а) и используя связь (*), находим .

Предположение о том, что сосуд в равновесии погружен в воду будет верно, если h' > 0. Так же такое решение будет иметь смысл, если h' > H' <=> H - 2h + 2h' > h' <=> h' > 2h - H (**), иначе в положении равновесия сосуд с поршнем будет находиться в "схлопнутом" состоянии.

Предположим теперь, что дно сосуда выступает из воды (h' < 0). По условию сосуд достаточно длинный, поэтому непосредственно под поршнем вода останется. Поэтому уравнение (2), как и (1), останется в силе. На дно сосуда давление со стороны воды пропадет: p₀S + mg = T₂ (2b). Из уравнений (1), (2), (3b) и (*) получим .

Такое решение будет верно при h' < 0. Условие (**) остается в силе.

Если ввести для краткости обозначение , то получим окончательно:

Ответ:

Задача 7.

Пусть m - начальная масса жидкости, T₁ = 20°C - начальная температура жидкости, T₀ = 0°C - комнатная температура, T₂ = -5°C - температура жидкости через достаточно большое время.

Рассмотрим небольшой интервал времени Dt в начале процесса. За это время испарилась небольшая часть жидкости массой Dm. Тепло отданное жидкостью из-за теплообмена равно a(T₁ - T₀)Dt.

На парообразование была потрачена теплота lDm.

Составим уравнение теплового баланса: cmDT = lDm + a(T₁ - T₀)Dt

=> cm = l + a(T₁ - T₀) (1),

где - коэффициент наклона (по модулю) касательной к графику в момент t = 0 c, - скорость испарения жидкости.

Рассматривая аналогично малый интервал времени вблизи момента t₀, когда температура жидкости равна комнатной, получим:

c(m - t₀) = l (2) Так как масса жидкости успела уменьшится на величину t₀, а теплообмен с воздухом в этот момент отсутствует (T = T₀). - коэффициент наклона (по модулю) касательной к графику в момент t = t₀.