Условия 11 класса (район 2002)

Условия задач районного тура 2002 года для 11 класса.

1 вариант · 2 вариант

I вариант

Задача 1.

Тележка массой $M$, двигающаяся со скоростью $V$ прямолинейно, наталкивается на легкую пружину длиной $L$, прикрепленную к стене (см рис). На тележке закреплен хрупкий предмет массы $m$, который разбивается, если его перемещать с ускорением больше чем $a_0$. Какой должна быть жесткость пружины, чтобы в процессе столкновения хрупкий предмет не разбился? Трением тележки о пол пренебречь. Пружину считать идеальной при любой длине от 0 до $L$.

Барыгин И.А.

Задача 2.

Два бесконечно длинных тонких стержня расположены в горизонтальной плоскости параллельно друг другу на расстоянии $2R$ и заряжены положительно с постоянной плотностью заряда на единицу длины $\sigma$. Вдоль вертикальной нити, туго натянутой посередине между стержнями, может без трения скользить отрицательно заряженная частица массой $m$ (см рис). При каком заряде частицы ее можно поднять вверх, поднимая медленно вверх стержни? Ускорение свободного падения $g$. Напомним, что электрическое поле заряженного стержня зависит от расстояния до него по формуле $E(r) = \frac{\sigma}{2\pi\varepsilon_0 r}$.

Налимов М.Ю., Комарова М.В.

Задача 3.

Тонкостенный перевернутый стакан высотой $L$ быстро погрузили в воду на глубину $H$ (см рис), при этом в первый момент после погружения вода в стакане поднялась до уровня $l_0$. Стакан удерживают под водой с помощью динамометра. На сколько и почему изменятся показания динамометра с течением времени по сравнению с первоначальными? Атмосферное давление $p_0$, плотность воды $\rho_0$, площадь дна стакана $S$. Считать, что температуры атмосферы и воды совпадают.

Налимов М.Ю.

Задача 4.

В однородном магнитном поле, направленном вертикально вверх, под углом $\alpha$ к горизонту со скоростью $V$ запущена частица массы $m$ заряда $q$. На некоторой высоте над точкой старта частицы расположена горизонтальная плоскость. В результате упругого столкновения частицы с плоскостью заряд частицы уменьшился вдвое. Траектория частицы после соударения пересекает траекторию частицы до соударения $N$ раз, причем одно из пересечений происходит в точке старта. Найти, на какой высоте расположена плоскость. Силой тяжести пренебречь. Индукция магнитного поля $B$. (Примечание: на рисунке оси Ox, Oy, Oz взаимно перпендикулярны; вектор $V$ лежит в плоскости Oyz).

Налимов М.Ю.

Задача 5.

Два плоских квадратных зеркала со сторонами $a$ и $2a$ образуют прямой угол (см. рис.). На расстоянии $a$ от маленького зеркала и на расстоянии $2a$ от большого расположен источник света. Найти область в плоскости рисунка, в которой можно наблюдать ровно 2 изображения источника в зеркалах.

Комарова М.В.

II вариант

Задача 1.

Тележка массой $M$, двигающаяся с некоторой постоянной скоростью прямолинейно, наталкивается на легкую пружину длиной $L$ жесткостью $k$, прикрепленную к стене (см рис). На тележке закреплен хрупкий предмет массы $m$, который разбивается, если его перемещать с ускорением больше чем $a_0$. Какую скорость может иметь первоначально тележка, чтобы в процессе столкновения хрупкий предмет не разбился? Трением тележки о пол пренебречь. Пружину считать идеальной при любой длине от 0 до $L$.

Барыгин И.А.

Задача 2.

Два бесконечно длинных тонких стержня расположены в горизонтальной плоскости параллельно друг другу на расстоянии $2R$ и заряжены положительно с постоянной плотностью заряда на единицу длины $\sigma$. Вдоль вертикальной нити, натянутой посередине между стержнями, может скользить без трения положительно заряженная частица массой $m$ (см. рис.). Частицу медленно опускают сверху. Каким зарядом она должна обладать, чтобы зависнуть? Ускорение свободного падения $g$. Напомним, что электрическое поле заряженного стержня зависит от расстояния до него по формуле $E(r) = \frac{\sigma}{2\pi\varepsilon_0 r}$.

Налимов М.Ю., Комарова М.В.

Задача 3.

Тонкостенный перевернутый стакан, полностью наполненный воздухом и находящийся под водой на глубине $H$ (см. рис.), взвешивают при помощи динамометра. Затем стакан медленно поднимают, так что его дно оказывается на поверхности, а потом опускают обратно и снова взвешивают. На сколько и почему изменятся показания динамометра по сравнению с первоначальными? Атмосферное давление $p_0$, плотность воды $\rho_0$, площадь дна стакана $S$, его высота $L$. Считать, что температура воды постоянна и равна $T$.

Налимов М.Ю.

Задача 4.

В однородном магнитном поле, направленном вертикально вверх, под углом $\alpha$ к горизонту со скоростью $V$ запущена частица массы $m$ заряда $q$. На некоторой высоте над точкой старта частицы расположена горизонтальная плоскость. В результате упругого столкновения с плоскостью частица распалась на две одинаковые по массе части, одна из которых (частица а) оказалась незаряженной, а вторая (частица b) имела тот же самый заряд $q$, что и исходная частица. Траектория частицы b пересекает траекторию исходной частицы $N$ раз, причем одно из пересечений происходит в точке старта. Найти, на какой высоте расположена плоскость. Силой тяжести пренебречь. Индукция магнитного поля $B$. (Примечание: на рисунке оси Ox, Oy, Oz взаимно перпендикулярны; вектор $V$ лежит в плоскости Oyz).

Налимов М.Ю.

Задача 5.

Два плоских квадратных зеркала со сторонами $a$ образуют прямой угол (см рис). На расстоянии $3a$ от одного зеркала и на расстоянии $a$ от другого расположен источник света. Найти область в плоскости рисунка, в которой можно наблюдать ровно 2 изображения источника в зеркалах.

Комарова М.В.